Занятия математикой

Да в общем, начали мы как и все — считали пальчики. Порядковый счет до 10 был усвоен очень быстро к двум годам. Обозначения цифр мы знали в 1г.4м. Выучили цифры по картинкам: кошка, собака, буква А, лошадка, цифра 3. В маленьком возрасте все равно какую информацию по картинке воспринимать — почему бы и не эту?

Ольга Павлова, l_ola@mail.ru, 1 сентября 1999 г.

Часть 1. С 3 до 4 лет.

Порядковый счет и цифры

Мы начали обучение, как и многие родители — осваивали счет на пальцах. К двум годам мой ребенок довольно быстро научился считать до десяти. Знание цифр пришло к нам уже в один год и четыре месяца, когда мы начали запоминать их через картинки: кошка, собака, буква А, лошадь, цифра 3. В детстве не имеет значения, какая именно информация запоминается через визуальные образы — важен сам процесс.

Хотя это можно было сделать и ранее, я не знала о концепциях раннего развития и интуитивно занималась с дочкой.

Дроби

До трех с половиной лет мы продолжали осваивать последовательный счет, пока не пришла музыка. На музыкальных занятиях мы начали изучать длительности нот, такие как целая, половиночная, четвертная и восьмая. С этого момента нам пришлось познакомиться с дробями. Мы резали яблоки, рвали бумагу на части и просто рисовали — иногда не понимали друг друга. В конце концов, моя дочка сказала: «Мама, восьмая — это короткий звук — ТА, а четвертная — это два коротких звука». Она стала глубже задумываться. Я, удивленная её логикой, спросила: «А целая?» На что она ответила: «Это сложно сосчитать в уме». Я предложила ей нарисовать, и получился такой рисунок:

Каждая палочка — это ТА, а всего восемь ТА — целая нота. Саша так гордилась своим открытием, что пыталась объяснить эту теорию всем в детском саду, хотя, как мне показалось, без особого успеха.

На следующем уроке по музыке учитель также попробовала резать яблоки. Саша поделилась своей теорией, и в итоге они начали хлопать в ладоши: один хлопок означал восьмую нотку, два — четвертную.

Выяснилось, что для трехлеток гораздо проще складывать, чем делить.

Пройдя сложным путем к этому простому пониманию, мы решили двигаться к сложению.

Сложение

Итак, все начиналось с того, что я решила: следует просто начать процесс, не важно, что складывать. Предложила Саше складывать книжки. «Вот две книжки, и вот еще одна, сколько будет всего?» Получила ответ: «Одна про уточек, одна про мышек и одна про Петю-петушка». Аналогично с чашечками: «Одна с домиком, одна с цветочком и одна с очень страшной тетёй». Я поняла, что прежде чем учить сложению, лучше сначала объяснить группировку предметов по какому-то признаку. У нас не было счетных палочек, но мы пользовались детским домино, довольно крупным, размером примерно 7х14 см, с точками на картинках. Это оказалось удобным, поскольку на одной карточке домино было две картинки с горошками — наглядно.

Используя этот «учебный материал», мы освоили счет до двенадцати всего за 15 минут. Затем я решила показать, что примеры можно записывать на бумаге.

Мы начали так: я рисовала прямоугольник, делила его на две части, размещала горошины сверху и снизу, и предлагала считать их вместе. В ходе этого процесса мы с Сашей повторяли: «Рисуем домино, оно с половинками, сверху — 2, внизу — 4». Если мы все сосчитаем, получится ровно 6! (Это дало бесконечное поле для творчества, но моя дочь просто была в восторге от повторяющихся фраз.)

Под рисунком я быстро записывала пример с цифрами, почти не отвлекая её на этот процесс.

Потом мы начали усложнять задачу: «Рисуем домино, оно с половинками, сверху — 2, а внизу — не знаем! Сколько нужно дописать, чтобы получилось 5?»

Согласитесь, это уже практически уравнение! 2 + х = 5. Я записала это под рисунком и объяснила, что, когда чего-то не знаем, вместо этого пишем букву х.

После тренировок на примерах сложения Саша уверенно выдала правильный ответ — 3! Значит, х=3, — подумала я.

Следующие два дня Саша сама рисовала примеры и записывала их цифрами, чтобы было как настоящие! Ни одна кукла или зайчик не остались в стороне и научились решать примеры на сложение и уравнения.

Группирование

Боюсь, что объясняя вычитание, я столкнусь с теми же трудностями, что и во время обучения сложению книжек и чашечек. Прежде чем переходить к вычитанию, я решила сначала прояснить понятие группировки предметов по признакам.

У нас ушло около недели на то, чтобы научиться группировать предметы по таким признакам, как форма, цвет, размер и другие общие характеристики. (Темпы были далеки от вундеркинда, откровенно говоря.) Мы использовали примерно 50-70 предметов, которые точно можно найти дома. Разложив их на диване (или сложив в одну кучу), мы выстраивали на стуле предметы, группируя по признаку «красный», «прямоугольный», «маленький», «игрушка» и так далее. Параллельно мы «изобрели велосипед» — придумали игру «Какой предмет лишний» по какому-то критерию.

На самом деле эта тема бесконечна: мы всю жизнь что-то группируем и классифицируем. Позже мы начали группировать по признакам «вкус» (сладкий, горький, кислый, соленый), «запах» (есть или нет), «температура» (ледяной, холодный, теплый, горячий, обжигающий), «объем» (объемный, плоский, линейный). Стали объединять растения (трава, цветы, кусты, деревья), плоды (овощи, фрукты, ягоды), животных (птицы, рыбы, земноводные, млекопитающие). К четырем годам это стало одной из ее любимых тем. Кроме того, умение группировать предметы позволяет говорить на самые разные темы. Например, Саша могла описать медведя так: «медведь — это живое существо, млекопитающее, коричневого цвета, большого размера, с сложной симметричной формой, объемное, теплое, дикое — живет в лесу, обычно не хищное, засыпает на зиму». Это именно «описание», и совсем не значит, что стихи или сказки о мишке прошли мимо нее — «рацио» не победило, и это вовсе не входило в мои намерения.

Мы играли в игру 2 — определяли, чем, например, кошка отличается от вороны, а чем они похожи; помимо повторения изученного это еще и развивает фантазию.

Игра 3 заключалась в том, что кто-то задумывал предмет, а другой пытался угадать его, задавая вопросы по признакам.

Вычитание и деление поровну

Возвращаясь к вычитанию, поделюсь, как мы проходили этот процесс (иногда до сих пор называем вычитание «отниманием» — ничего не поделаешь).

Пожалуй, можно сказать, что всё прошло замечательно и без проблем, группировка усвоилась, если мы «отнимали» книжки, то содержание их при этом не обсуждалось. Все шло гладко, пока не пришла классическая задача с конфетами: «У тебя шесть конфет, ты дала мне две, сколько у тебя осталось?» Саша заявила, что это было бы нечестно, и отдала бы три конфеты, чтобы было поровну. Я согласилась. Но тут вернулся папа с работы. Снова нечестно, сказала Саша, — ее нужно поделить и с папой. Я согласна, ответила я, но сначала решим задачу! — «Нечестно!» — сказала она, заплакала и ушла к себе в комнату.

Пришлось изменить задачу так: «У тебя шесть конфет, две ты дала маме, две — папе, сколько у тебя осталось?» Этот вариант вызвал у ребенка меньше вопросов и был быстро решен.

Этот случай заставил меня задуматься: деление на равные части для трехлетки воспринимается легче, чем вычитание. Это важно, так как кажется СПРАВЕДЛИВЫМ. А вот если у тебя восемь шариков, и два лопнули, это считается Несправедливым, и поэтому задачи таким образом решать не хочется. Вычитание — чаще всего нежелательное действие, потому что оно приводит к потерям и несправедливости. Поэтому из задач на вычитание легче всего проходили: «Из десяти задач Саша уже решила на пятерку восемь. Сколько еще осталось решить задач на пятерку, чтобы все задачи были решены на пятерку?».

Умножение

Теперь оставалось пройти умножение, чтобы завершить классический набор из четырех арифметических действий.

Было ли какое-то новое решение, кроме «три ряда по четыре дерева» или «площадь предмета», я не знала. На помощь пришла Саша, предложив рисовать и складывать!

В целом, использование рисунков значительно упрощает дело. Мы нарисовали несчастные три ряда по четыре дерева и заметили, что если сложить 4+4+4, то получим именно то, что нам нужно. Процесс умножения стал понятен, а это именно то, что я и хотела.

Если ребенку ясны сами процессы четырех операций и основы группировки, он сможет решить любую задачу из начальной школы с помощью рисунков.

Еще одна мысль, возникшая у меня в процессе занятий с дочерью: можно, конечно, научить ребенка до четырех лет решать примеры с сотнями, он поймет механизм, но не сможет представить, например, 90 машинок. После двадцати (твои пальцы и мои) для трехлетки это становится «много», даже если он знает, что остается дальше, само понятие не доступно.

Часть 2. С четырех до пяти лет.

Когда Саше исполнилось четыре года, я приобрела учебник для первого класса по математике. Я была весьма разочарована, так как ничего нового для своего ребенка не обнаружила. Мы просматривали его вдумчиво в течение месяца и затем купили другой, для второго класса. Тут были некоторые новые понятия, но даже с их объяснениями за два месяца учебник был пройден (уже не так внимательно, по десять одинаковых задач мы не решали). После этого, посоветовавшись с Сашей, мы решили больше не тратить время на пустую деятельность, а заниматься тем, что нам интересно.

Сотни, десятки, единицы.

К четырем годам счет до ста стал осваиваться как-то естественно, подобно стихи. Но понимания, что же такое сто, не случилось. На помощь пришел поезд дров.

В каждом вагоне размещено по десять толстых бревен. Если в составе два вагона, сколько всего бревен он перевозит? Ответ был неожиданным: поезда с двумя вагонами не существует. Хорошо, отвечаю. А если у нас поезд из десяти вагонов? Сколько бревен будет в первых двух вагонах? Саша, не задумываясь, отвечает: Двадцать! Правильно, а в трех? Включает порядок расчета и считает в уме. Тридцать! А ты знаешь, как пишется тридцать? Записывает. Молодец! А сколько в четырех? Опять включает подсчет, но внутренне чувствует подвох. Сорок! Записываю — 40. А в пяти? Мама задумалась, говорит: я напишу, а ты скажешь, как? Пишет 50! Я говорю — «пятьдесят». Слышишь — пять-десят, то есть пять десятков! Спрашивает: а как же будет шестьдесят? Семьдесят? — Да! — Восемьдесят! Девяносто! Десятьдесят! — Но разве ты не считала до ста? Там же было девяносто и десятьдесят? — Нет. — А как же было, вспомни! — (считает) — девяносто! (пишет 90), (считает) — сто. А как написать сто? — показываю — Из трех цифр?! — Да! 90 — это девять десятков, а 100 — это 10 десятков!

Весь вечер она бродила по комнате, погруженная в мысли. Утром: мама, а в двух поездах — 20 десятков, можно написать так — 200? — Можно! — А как это будет называться? — Двести, то есть две сотни. — А в трех вагонах — вот столько, тристи! — О, почти правильно, только не тристи, а триста.

Таким образом, за два дня мы «прокачались» от счета до двадцати до тысячи. Конечно, были ошибки, в основном с названиями чисел, но главное — пришло осознание.

При изучении сотен, десятков и единиц полезно выполнять следующие упражнения:
681 — это шесть сотен, восемь десятков и одна единица, или: шесть поездов, восемь вагонов на запасном пути и одно бревнышко, которое не поместилось. (Именно — не поместилось, а не выпало откуда-то.)

Таким образом, даже несмотря на усвоенные знания, полезно периодически повторять и представлять информацию.

Счет в столбик.

Когда понимание больших чисел стало ясным, возник вопрос, как с ними работать, как решать задачи с сотнями. Пришлось объяснить, как происходит сложение и вычитание в столбик. Этой «гимнастикой» (пять примеров в столбик для разминки) мы занимаемся перед каждым занятием по математике, а сейчас (не скажу, что занятия у нас регулярные). Конечно, не без помех от папы, который не ладит с математикой с детства, он — гуманитарий, который научил использовать калькулятор (это разрушило волшебство — оказывается, можно быстрее, проще и не задумываться, «и вообще, каждый дурак справится!). Но на калькуляторе мы потом проверяем, правильно ли всё вышло. Я считаю, что счет — замечательное упражнение для ума.

Сложение и вычитание в столбик освоены, как в школе, с использованием определённого алгоритма (при сложении — запоминаем один при переходе; при вычитании — если от шести вычесть восемь не получается, займём десяток и будем вычитать от шестнадцати). Кстати, с учетом счета в столбик, пришлось освоить, что такое «алгоритм» — порядок решения, последовательность действий. Я записала алгоритм на бумаге, и первое время он был перед глазами во время решения задач.

При решении примеров в столбик возникает достаточно сложная задача для четырехлетки, например, от 17 отнять 9. В связи с этим пришлось объяснить, как упростить эту задачу.

Упрощение.

(Предполагается, что ребенок уже неплохо знает состав чисел до 10.)

Пример: 17 — 9. Как нам проще вычесть из 17? Верно, убираем 7. А сколько не хватает от 7 до 9? Два. Отлично. Значит, будем вычитать не сразу девять, а сначала 7, затем 2. Записываем: 17 — 9 = 17 — 7 — 2 = 10 — 2 = 8.

Неравенства

Как правило, ребенок может определить, какое число больше, а какое меньше, если ему правильно объяснили большие числа. Если нет — не стоит переживать, можно начинать с маленьких чисел, помогая осваивать большие параллельно.